下面我們研究Brown運動的軌道(X(l)在[0, t]上的一個實現過程)性質和聯合分布等概率性質.首先Brown運動的幾乎每條樣本軌道都是連續的.但X(t)的樣本軌道不是通常我們見到的函數,而是一個幾乎處處不可導的函數,其物理意義是對象在每一瞬間受到凈碰撞的方向都是任意的.
下面給出Brown運動的一些概率特性.
定理在給定現在狀態 X(s)的條件下,過去X(u) (0≤v<s)與將來X(s+t)(t> 0) 獨立.
證明
P(X(s+t)≤a|X(s)=x, X(v)=x, 0≤v<s)
=P(X(s+t)- X(s)≤a-x|X(s)=x, X(u)=x, 0≤r<s)
= P(X(s+t)- X(s)≤a-x|X(s)- X(u)=x-x)
= P(X(s+t)- X(s)≤a-x)= P(X(s+t)≤a|X(s)=x).證畢.
由Brown運動的定義知道,當X(0)= 0時,X(t)的密度函數可寫成f,(x)=-==e-*/2.任給n個時刻0<t<t:<..<t.,√2πt記....(... ..工)為n個時刻的位置X(4), .. X(1,)的聯合分布密度函數.利用Brown運動的平移不變性,我們可以得到Brown運動的聯合分布密度函數.f..-. (x1，.. x,)的性質.
定理f.-. (工，...的)= f,(x)f,-,(x:-x). .... .f.,-.(x,-x,-).假定給定X(T)= B, X(0)=工o，求X(:)的條件分布(其中s< T),則X(s)的條件密度函數是
即E[X(s)1 X(T)= B]= Bs/T,var[X(s) I X(T) = B]= s(T- s)/T.不難發現,約定X(T)= B時X(s)的條件方差(s< T)不依賴于B的具體位置.若令s/T= a, 0<a< 1,則給定X(T)時X(s)的條件分布是正態的，均值為aX(T),方差為a(1-a)T.定義隨機過程 {X(t), t≥0|若對一切4, ... :X(1), .，X(t,)}為多元正態分布,則稱為Gauss過程.Brown運動也是一個Gauss過程,其均值和協方差函數如下:當s<t時，EX(!) = 0,cov(X(s), X(t)) = cov(X(s), X(s) + X(1)- X(s))
= cov(X(s),X(s)) + cov(X(s),X()- X(s))
= cov(X(s), X(s)) = s;
當t< s時，X(s)和X(t)的協方差為t,故cov(X(s), X(t))= min(s, t).
根據前面給定X(T)=B時Brown運動的條件分布的性質,我們來研究由Brown運動X(l)得到的特殊的過程.它在兩個時刻被固定: X(0) = 0，X(1) = 0,即它是一類條件隨機過程{X(t), 0≤t≤1| X(1)=0}.這類Gauss過程稱為Brown橋，我們來計算它的協方差函數.對于s< 1,根據前面的結果,有E[X(s) | X(1) =0]= 0;對于s<t< 1,有
cov[X(s), X(t) | X(1) = 0]= E[X(s)X(t)| X(1)= 0]
= E[E[X(s)X(t) | X(t)= r, X(1) =0]| X(1) = 0]
= E[X(t)E[X(s) | X(t)]| X(1) =0]
= E[x(t) -X(t) | X(1)=0]=二E[X()1 X(1)=0]
= -t(1-t)= s(1-t),
同時var[X(s) I X(1)=0]= s(1-s).因此, Brown橋可定義為均值為0,協方差函數為s(1- l) (s≤1)的Gauss過程.不難看出Brown橋下的方差var[X(s) | X(1) = 0]小于Brown運動的方差var[X(s)]=s.例如，債券在持有期到了以后其價格是固定的，因此由Brown橋運動的性質可知債券的風險時時小于股票的風險.同時,債券的風險與剩余時間(1-s)正相關.這與債券風險理論中久期的性質非常相似.
定理若{X(1), t≥0}是Brown運動,則當Z(l) = X(t)-tX(1)時，{Z(t), 0≤l≤1}是Brown橋過程.證明{X(t), t≥0|顯然是Gauss過程, Z(1) = 0,即{Z(t)}的末端也退化為常數.要驗證的是:E[Z(t)]= 0及當s≤t時,cov[Z(s), Z(t)]= s(1-t).下面進行計算.
E[Z(t)] = EX(t)- tEX(1) = 0,
cov[Z(s), Z(t)]= cov[X(s)-sX(1), X(l)- tX(1)]
= cov[X(s), X(t)]- tcov[X(s), X(1)]
- scov[X(1), X(t)]+ stcov[X(1), X(1)] .
= s-st-st十st = s(1-t),證畢.
